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一元函数的导数

首先我们要明确，导数除了代表函数在某点的切线的斜率外，还表示函数在该点的变化率

$\Large f(x_0)’ = lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

即反应了函数值沿着x轴的方向变化率。

多元函数的偏导数

拥有多个变量时的函数为多元函数，以二元函数为例子

对于二元函数的偏导数：

$\large f_x(x,y)$指的是函数在y方向不变，函数值沿着x轴方向的变化率，即

$$\large f_x(x_0,y_0)=lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

$\large f_y(x,y)$指的是函数在x方向不变，函数值沿着y轴方向的变化率

$$\large f_y(x_0,y_0)=lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$$

二元函数的图像是一个曲面，偏导数就是多元函数沿着某一个坐标轴的变化率，如果我们要考虑任意方向的变化率，是无法求解了，这就引出了方向导数

方向导数

方向导数就是沿着每个方向的函数值的变化率

以二元函数为例子：

单位向量的方向：

对于的坐标$\large(x,y,z)$，设该向量和$\large x,y,z$轴正方向的夹角为$\large\alpha,\beta,\gamma$，则由$\large x，y，z$轴的单位向量，则

$$\large cos\alpha = \frac{(x,y,z)·(1,0,0)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\ \large cos\beta = \frac{(x,y,z)·(0,1,0)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\ \large cos\gamma = \frac{(x,y,z)·(0,0,1)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\ \large (cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z)$$

所以$\large (cos\alpha,cos\beta, cos\gamma)$是OP的同向的单位向量

所以对二元函数，单位向量为$\large (cos\alpha, cos\beta)$

求参数方程：

设两点$\large \vec{P}=(x,y), \vec{P_0}=(x_0,y_0)$

直线$\large l=\vec{P_0P}=(x-x_0,y-y_0)$与向量$\large e_l=(cos\alpha,cos\beta)$平行，且方向相同

所以

$$\large \vec{P_0P} || e_l \rightarrow \vec{P_0P}=t\cdot e_l \\ \therefore \large(x-x_0, y-y_0)=t\cdot (cos\alpha, cos\beta)\\ \therefore \large x = x_0 + tcos\alpha, y = y_0 + tcos\beta \\ \therefore \large P = (x,y) = (x_0 + tcos\alpha, y_0 + tcos\beta)$$

所以沿着指向l的方向导数为 $\Large \frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0)} = lim_{t\rightarrow 0}\LARGE\frac{f(x_0+tcos\alpha, y_0+tcos\beta)-f(x_0,y_0)}{t}$

即是函数在指向l的方向上的方向导数$\Large \frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0)}$

梯度

如果函数$\large z = f(x,y)$可微分，那么函数沿着该点任意方向的方向导数必然存在

因为可微分，所以

$$\begin{align}\large{ f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\\ =f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0+\Delta x, y_0) + f(x_0+\Delta x, y_0)-f(x_0,y_0)\\ =f_x(x_0,y_0)\Delta x + f_y(x_0,y_0)\Delta y + o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}) \\ 根据方向导数的定义，令\Delta x = tcos\alpha,\Delta y = tcos\beta\ 有\\ f_x(x_0,y_0)tcos\alpha + f_y(x_0,y_0)tcos\beta + o(\sqrt{(tcos\alpha)^2 + (tcos\beta)^2}) \\ = f_x(x_0,y_0)tcos\alpha + f_y(x_0,y_0)tcos\beta \\ \therefore \frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0)}=lim_{t\rightarrow 0}\frac{f_x(x_0,y_0)tcos\alpha + f_y(x_0,y_0)tcos\beta}{t} \\ = f_x(x_0,y_0)cos\alpha + f_y(x_0,y_0)cos\beta \\ = (f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))\cdot (cos\alpha,cos\beta) }\end{align}$$

令梯度为$\large grad f = (f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))$

所以梯度与方向的内积为：$\large |f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0)|\cdot |cos\alpha,cos\beta|cos\alpha$，其中α是夹角，所以当$\large cos\alpha = 1即\alpha = 0$时取得最大，即两个方向平行时取得。

所以当方向为梯度的方向时，函数值上升最快。反方向是下降最快